RIPARTI?

Abbiamo un nuovo problema adesso, quello di suddvidere una cifra secondo un criterio logicamente corretto, questo dilemma viene solitamente chiamato riparto ma, in verità vi dico non è altro che una proporzione.

Ad esempio se noi prendiamo 2 amiche (chessò Angelica e Carolina due nomi a caso) e queste affittano per 1.200€ un appartamento dove trascorrere le vacanze come divideranno la spesa?

Se vogliamo trovare un criterio di ripartizione più raffinato della semplice divisione in due potremmo chiederci ad esempio quanti giorni trascorrono ciascuna.

Ipotizziamo che Carolina stia al mare 20 giorni mentre Angelica 10.
A livello intuitivo già posso intravedere la soluzione che si prospetta, potrei dividere i 1.200 € di spesa per i trenta giorni di affitto totale trovando che l'appartamento costa 40€ al giorno. Poi moltiplicherei i 40€ al giorno per i giorni trascorsi da ciascuna.
In effetti tale ragionamento è frutto diella seguente proporzione:

1200€ di spesa totale equivalgono a 30 gg di spesa come X € di spesa equivalgono a 10 gg di permanenza per Angelica (1200:30=X:10)
questo è un riparto semplice

Ora ipotizziamo che Carolina non sia d'accordo sul criterio utilizzato perché, a suo modo di vedere, l'appartamento composto di due stanze quando era occupato da lei aveva una stanza a disposizione per Angelica cioè vuota ma disponibile, mentre quando soggiornava Carolina c'era sempre un'amica. Ora, se vogliamo fare un riparto dovremo considerare due aspetti: i giorni trascorsi e il numero di persone che occupavano l'appartamento.
A livello intuitivo, questo, che è un riparto composto è più complicato vediamo proporzionalmente come agiamo e poi cerchiamo di inquadrarlo anche mentalmente:

1200: 60 = X : 20 per Carolina e 1200: 60 = X : 40 per Angelica
in pratica Carolina paga 400 € e Angelica 800€ perché?
Io ho posto 1200 euro di spesa pari al prodotto tra il numero di persone massime dell'appartamento (2) e i giorni massimi di affitto (30). Nel caso di Carolina ho posto la X pari a 20 perchè lei era una persona ed ha occupato l'appartamento 20 gg (1x20). Per Angelica ho messo 40 perché c'erano 2 persone per 10 giorni + Una per 20 giorni costituita dal posto a disposizione per Angelica(2x10+1x20) .
Intuitivamente ho quindi diviso 1200€ per 60 (2 persone x 30gg) trovando 20 € che non era il prezzo giornaliero ma il prezzo giornaliero per letto (ha due parametri giorni e persone). Poi ho moltiplicato per i giorni e i posti letto occupati da ciascuna per trovare il valore cercato.

Sciauuuu

SOPRA O SOTTO?

Francamente non ho mai capito la distinzione tra sopra e sotto cento, quando me le hanno spiegate mi son sempre sembrate la stessa cosa, non mi piace perciò insegnare una tecnica per risolvere le une o le altre perché se applico il procedimento delle percentuali visto nel post precedente il problema casomai sarà solo determinare qual è cento? Quindi meno domande e meno cose da imparare a memoria

Se scelgo questa linea diventa veramente importante una lettura attenta dei dati che mi vengono forniti.

Se mi dicono: il 50% della popolazione è ottimista, io oltre a pensare che la metà della popolazione è tendenzialmente triste mi dovrò chiedere chi è 100, o meglio chi è il 100%? Il 100% è il totale della popolazione, e di conseguenza il totale della popolazione è costituita da due metà 50% ottimisti e 50% pessimisti.

Se dico che la popolazione è costituita da 56 mln di italiani quanti sono gli ottimisti?

Matematicamente farò 56 : 100 = X : 50 (56 milioni cioè il totale della popolazione equivale a 100 come la quantità x della popolazione equivale al 50%)

Ora supponiamo che dica che la popolazione di 56 milioni nell’ultimo anno(il 2006) è cresciuta del 10% cosa significa?

Che se la popolazione fosse stata 100 al termine dell’anno sarebbe diventata 110.

Se io dico ora quanto è diventata la popolazione in numero al termine dell’anno?

Farò 56 : 100 = X : 110 (56 equivale a 100 come X equivale a 110 cioè 100+10) x= 61,6

Ho appena fatto un operazione sopracento

Se io dico che la popolazione è diminuita del 10% rispetto al 2006 cosa faccio?

56 :100= X :90 (cioè 56 equivale a 100 come x equivale a 90 cioè 100 meno la diminuzione di 10)

Ho fatto un operazione sottocento

Le cose si complicano se le operazioni diventano inverse

Supponiamo che io dica che la popolazione del 2007 è 60 milioni e che aumentata rispetto al 2006 del 10% cosa significa?

Significa che da un numero X è arrivata a 60 milioni e da 100 è arrivata a 110.

In questo caso però il dato numerico che ho (60 milioni) non equivale a 100 ma a 110 perché è il valore aumentato. Perciò farò:

X:100=60:110 (il valore del 2006 sta a 100 come quello del 2007 sta a 110)

Allo stesso modo se io dico che la popolazione è diventata 50 milioni dopo essere diminuita del 10% rispetto al 2006 farò:

x: 100=50 :90 (pop 2006 equivale a 100 come quella del 2007 equivale a 90, cioè 100-90)

Ciao bei….

ANDIAMO AL 100%

Un particolare tipo di proporzioni sono le percentuali.

Immaginiamo di avere in tasca cento banconote da 5 euro. Il totale dei soldi che ho in tasca è ovviamente 500 €. Dire che ho 100 banconote da 5€ è lo stesso di dire che ho in tasca 500€. Se io prendo due banconote avrò in mano 10 € come dire il 2% (due banconote su 100) dell’intera somma.

In pratica io confronto un insieme composto da € con uno composto da %esimi (il numero di banconote). Se io dico che il totale dei miei soldi è 500€ è la stessa cosa dire che il 100% dei miei soldi è 500€.

Facciamo un altro esempio.

Se sostengo che il 60% dei ragazzi non capisce le percentuali in pratica affermo che se prendo 100 ragazzi 60 non sanno farle, ma se dico il 60% della classe 4d non capisce le percentuali cosa intendo?

Io so che la classe 4d è composta da 27 ragazzi.

Devo paragonare quindi una classe di 27 ragazzi con una di 100 e aspettarmi che siccome in quella di 100, 60 non capivano un tubo anche in quella di 27 una buona fetta faccia lo stesso. Il numero delle zucche della classe, naturalmente, sarà in proporzione a quello della classe di 100 allievi perchè si suppone che in tutto il mondo chi non capisce è equamente ripartito. Come procedo quindi?

Dico: 27:100= X:60 cioè 27 alunni equivalgono a 100 come x alunni equivalgono a 60. Notiamo che i termini sono: a sin dell’uguale dei totali, a destra dei parziali, quelli rossi riguardano la classe reale quelli blu quella in percentuale

Per risolvere moltiplico gli esterni (vedi lezione precedente) e divido per l’interno X=27x60/100

Altro esempio:

Ho una torta da 1kg. Se io dico che mi mangio il 30% della torta quanta torta mangio?

E’ come se nella torta io facessi 100 fette uguali (quindi ognuna di 10g) e ne mangiassi 30

In pratica mi mangio 30 fette da 10 g per un totale di 300g. matematicamente farei:

1 kg : 100 = X : 30 (un kilo equivale a 100 fette come Xkg equivalgono a 30 fette)

X=1x30/100= 0,3 kg cioè 300g

PROPOR"c"IONI

Partiamo di brutto anche quest'anno, boh spero vi serva se no ditemi parole, questo blog serve anche a quello....

Quando parliamo di proporzioni dobbiamo avere ben chiaro qual è il significato logico e grafico di tale affermazione.

Se mi domando ad esempio se l’uomo più grande del mondo (rappresentato nella foto sopra) abbia dimensioni proporzionali a quelle delle moglie (accanto a lui) cosa dovremmo verificare?

Se la moglie fosse alta la metà di lui (cioè 118 cm poiché lui misura 236 cm) per essere proporzionale dovrebbe avere la fronte alta la metà di lui il naso metà più corto e così via. Se fossimo sicuri che ci fosse questa proporzionalità basterebbe misurare una parte del corpo di lui e dimezzarla per sapere che dimensioni avrebbe la stessa parte di lei.

Continuiamo per assurdo ad ipotizzare che i due siano proporzionali 1:2 cioè che lei sia effettivamente la metà di lui in tutto e per tutto, potremmo quindi affermare che:

A. L’ALTEZZA DI LUI confrontata ALL’ALTEZZA DI LEI

è equivalente

B. ALLA LUNGHEZZA DEL NASO DI LUI confrontata ALLA LUNGHEZZA DEL NASO DI LEI

Ed inoltre

Sia la riga A quanto la riga B si assomigliano perché il termine rosso (il corpo di lui) è sempre 2 volte più grande del termine azzurro (il corpo di lei)

Matematicamente possiamo tradurre quanto detto con

236 cm : 118 cm = 7 cm : 3,5 cm (il rapporto tra le altezze è equivalente al rapporto dei nasi)

Ora se noi dobbiamo trovare la lunghezza del piede di lei sapendo che il piede di lui è 68 cm cosa faremmo?

Diremmo sempre che l’altezza di lui paragonata all’altezza di lei è equivalente alla lunghezza del piede di lui rispetto a quello di lei, quindi

236 cm : 118 cm = 68 cm : X

Se il primo termine(quello a sinistra dell’uguale) è pari a 2 anche il secondo lo sarà.

Per risolverlo faremo 2 = 68 : X quindi X= 68/2 = 34 cm

Di solito per comodità usiamo questa tecnica per risolvere le proporzioni:

1. Guardo quale tra i termini esterni (236 e X) o interni (118 e 68) è senza incognita

2. Assodato che in questo caso senza incognita sono i termini interni li moltiplico tra loro

3. Divido il risultato per il termine spaiato

4. Il risultato è la soluzione del problema

Complichiamo un po’ la faccenda.

Ipotizziamo che la donna sia alta 172 cm mentre lui sempre 236 e che i due in quanto anime gemelle sono proporzionati tra loro.

Se so che il mignolo di lei è lungo 2 cm quanto sarà il mignolo di lui?

Procedo come segue:

A. L’altezza di lui paragonata a quella di lei

È uguale

B. Al mignolo di lui paragonato a quello di lei

Quindi: 236: 172= X : 2

Da notare che la X questa volta sta a sinistra perché è una parte del corpo di lui (il mignolo che non ho misurato) e le parti di lui nel primo membro le ho messe a sinistra, in pratica devo mantenere i termini nella stessa sequenza.

Il risultato sarà (236x2)/172

ESEMPIO NUMERICO

Nella mia musigna a forma di porcellino da un Litro ci stanno 247 € (ad esempio in monete da 1€) quanti soldi da un euro ci staranno in una musigna analoga ma capiente 20 Hl?

Il ragionamento è analogo, confronto la grandezza delle sue musigne e le paragono al rapporto delle due capienze quindi:

1 l : 2000l = 247 € : X

Noto che 20 hl sono 2000 litri, poi che confronto litri con litri ed euro con euro e che allo stesso tempo nel lato sinistro ci sono sempre le informazioni del primo porcellino nel lato destro del secondo

La soluzione per quanto detto prima sarà X=(247x2000)/1

Domani aggiungo un post con le percentuali
sciao
Prof Cioni

BENVENUTI STUDENTUOLI